Question

9．已知函数f（x）是奇函数，且定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）．若x＜0时，f（x）=lg$\frac{1-x}{2}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）设x＞0，则-x＜0，代入已知解析式得f（-x）的解析式，再利用奇函数的定义，求得函数f（x）（x＜0）的解析式，
（2）原不等式化为$\left\{\begin{array}{l}{-lg\frac{1+x}{2}＞0}\\{x＞0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{lg\frac{1-x}{2}＞0}\\{x＜0}\end{array}\right.$，根据对数的性质，解得即可．

解答 解：（1）设x＞0，则-x＜0，
∴f（-x）=lg$\frac{1+x}{2}$，
∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-f（-x）=-lg$\frac{1+x}{2}$，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-lg\frac{1+x}{2}，x＞0}\\{lg\frac{1-x}{2}，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）f（x）＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-lg\frac{1+x}{2}＞0}\\{x＞0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{lg\frac{1-x}{2}＞0}\\{x＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1+x}{2}＜1}\\{x＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-x}{2}＞1}\\{x＜0}\end{array}\right.$
解得0＜x＜1，或x＜-1，
故不等式的解集为（-∞，-1）∪（0，1）．

点评 本题主要考查了利用函数的奇偶性和对称性求函数解析式的方法，以及不等式组的解法和对数的性质，体现了转化化归的思想方法，属于中档题．