Question

（理）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足csinA=acosC．当

3

sinA-cos(B+

π

4

)取最大值时，A的大小为（　　）

• A．

  π

  3

• B．

  π

  4

• C．

  π

  6

• D．

  2π

  3

Answer 1

分析：根据正弦定理化简csinA=acosC，得到sinC=cosC，从而C=

π

4

．由此利用诱导公式和两角和与差的三角函数公式，化简得

3

sinA-cos(B+

π

4

)=2sin(B+

π

12

)，再结合正弦函数的图象，算出B=

5π

12

时

3

sinA-cos(B+

π

4

)达到最大值2．最后利用三角形内角和定理，即可算出相应角A的大小．

解答：解：∵csinA=acosC，∴由正弦定理，得sinCsinA=sinAcosC，
移项整理，得sinA（sinC-cosC）=0，
∵A是三角形的内角，可得sinA＞0，
∴sinC-cosC=0，即sinC=cosC，可得C=

π

4

．
∴

3

sinA-cos(B+

π

4

)=

3

sin(π-A)-cos(B+

π

4

)
=

3

sin(B+C)-cos(B+

π

4

)=

3

sin(B+

π

4

)-cos(B+

π

4

)
=2sin[(B+

π

4

)-

π

6

]=2sin(B+

π

12

)，
∵B∈（0，

3π

4

），得B+

π

12

∈(

π

12

，

5π

6

)，
∴当B+

π

12

=

π

2

时，即B=

5π

12

时，

3

sinA-cos(B+

π

4

)达到最大值2．
此时A=π-B-C=

π

3

．
故选：A

点评：本题给出三角形的边角关系式，求角C大小并依此求

3

sinA-cos(B+

π

4

)达到最大值时角A的大小．着重考查了正弦定理、三角形内角和定理、诱导公式、三角恒等变换公式和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．