Question

设函数f（x）是奇函数，并且在R上为增函数，若0≤θ≤

π

2

时，f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A．（0，1）
• B．（-∞，0）
• C．（-∞，1）
• D．（-∞，

  1

  2

  ）

Answer 1

分析：根据函数f（x）是奇函数，并且在R上为增函数，利用函数的性质，我们可将0≤θ≤

π

2

时，f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，转化为m＜

1

1-sinθ

恒成立，结合正弦型函数的性质结合分析法，我们可得

1

1-sinθ

在0≤θ≤

π

2

时的最小值，进而将恒成立问题转化为最值问题，得到实数m的取值范围．

解答：解：∵函数f（x）是奇函数，并且在R上为增函数，
∴不等式f（msinθ）+f（1-m）＞0可化为
f（msinθ）＞-f（1-m）
即f（msinθ）＞f（m-1）
即msinθ＞m-1
即m＜

1

1-sinθ

在0≤θ≤

π

2

时恒成立
∵0≤θ≤

π

2

时，1-sinθ的最大值为1，故

1

1-sinθ

的最小值为1
故m＜1
即实数m的取值范围是（-∞，1）
故选C

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性与函数的单调性及恒成立问题，是函数图象和性质的综合应用，难度为中档．