Question

对于函数f（x），若存在x₀∈R，使得f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的天宫一号点．已知函数f（x）=ax²+（b-7）x+18的两个天宫一号点分别是-3和2．
（1）求a，b的值及f（x）的表达式；
（2）当函数f（x）的定义域是[t，t+1]（t＞0）时，f（x）的最大值为G（t），最小值为g（t），求H（t）=G（t）-g（t）的表示式．

Answer 1

分析：（1）直接利用定义把条件转化为f（-3）=-3，f（2）=2联立即可求a，b的值及f（x）的表达式；
（2）根据函数的对称轴，确定f（x）在[t，t+1]内是单调减函数，从而可求f（x）的最大值为G（t），最小值为g（t），进而可求H（t）=G（t）-g（t）的表示式

解答：解：（1）依题意得f（-3）=-3，f（2）=2；
即9a+21-3b+18=-3，4a+2b-14+18=2，
解得a=-3，b=5
∴f（x）=-3x²-2x+18
（2）∵f（x）对称轴为 x=-

1

3

＜0
∴f（x）在[t，t+1]（t＞0）内是单调减函数，
G(t)=f(x)max=f(t)=-3t2-2t+18
g(t)=f(x)min=f(t+1)=-3t2-8t+13
∴H（t）=G（t）-g（t）=6t+5

点评：本题以新定义为载体，考查函数的解析式，考查二次函数在闭区间上的最值问题．关于给定解析式的二次函数在固定闭区间上的最值问题，一般根据是开口向上的二次函数离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大；开口向下的二次函数离对称轴越近函数值越大，离对称轴越远函数值越小