Question

（2009•虹口区一模）定义在R上的函数f（x+2）+f（x）=0，且y=f（x-1）是奇函数，给出下列命题：①函数y=f（x）的最小正周期是2；②函数y=f（x）的图象关于点（-1，0）对称；③函数y=f（x）的图象关于y轴对称．其中真命题是

②③

（填入命题的编号）．

Answer 1

分析：由f（x+2）+f（x）=0可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），则该函数的周期为T=4，又有函数f（x-1）为奇函数，说明函数f（x）应该有对称中心（-1，0），即f（-2-x）=-f（x）符合点对称的定义从而可求解．

解答：解：由f（x+2）+f（x）=0，即f（x+2）=-f（x）可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），函数f（x）的周期T=4，所以①错；
  又∵函数f（x-1）为奇函数，即函数f（x）向右移一个单位以后关于（0，0）对称，∴平移之前的图象应该关于（-1，0）对称，故②正确；
∵f（x+2）=-f（x）且f（x-1）=y为奇函数，
∴f（x+2）=-f（x），f（-x-1）=-f（x-1）=-f（x+1），

点评：此题考查了函数的周期定义及利用定义求函数的周期，还考查了函数的对称及与图象的平移变换，还考查了复合函数的奇函数的定义式．，通过抽象函数中一些主条件的变形，来考查函数有关性质，方法往往是紧扣性质