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13.证明:$\frac{sin(α+2β)}{sinβ}$-2cos(α+β)=$\frac{sinα}{sinβ}$.

分析 先转换命题,只需证sin(α+2β)-2cos(α+β)•sinβ=sinα,再利用角的关系:2α+β=(α+β)+α,(α+β)-β=α可证得结论.

解答 证明:∵sin(α+2β)-2cos(α+β)sinβ
=sin[(α+β)+β]-2cos(α+β)sinβ
=sin(α+β)cosβ+cos(α+β)sinβ-2cos(α+β)sinβ
=sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ
=sin[(α+β)-β]
=sinα.
两边同除以sinβ得 $\frac{sin(α+2β)}{sinβ}$-2cos(α+β)=$\frac{sinα}{sinβ}$.
∴原式得证.

点评 证明三角恒等式,可先从两边的角入手变化,将表达式中出现了较多的相异的角朝着我们选定的目标转化,然后分析两边的函数名称变名,将表达式中较多的函数种类尽量减少,这是三角恒等变形的两个基本策略.

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