Question

已知双曲线x²-y²=1的左、右顶点分别为A₁、A₂，动直线l：y=kx+m与圆x²+y²=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．
（1）求k的取值范围，并求x₂-x₁的最小值；
（2）记直线P₁A₁的斜率为k₁，直线P₂A₂的斜率为k₂，那么k₁•k₂是定值吗？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由l与圆相切，知m²=1+k²，由

y=kx+m x2-y2=1

，得（1-k²）x²-2mkx-（m²+1）=0，所以

1-k2≠0 △=4m2k2+4(1-k2) x1•x2= m2+1 k2-1 ＜0

(m2+1)=4(m2+1-k2)=8＞0由此能求出k的取值范围和x₂-x₁的最小值．
（2）由已知可得A₁，A₂的坐标分别为（-1，0），（1，0），k1=

y1

x1+1

，k2=

y2

x2-1

，k1•k2=

y1y2

(x1+1)(x2-1)

=

(kx1+m)(kx2+m)

(x1+1)(x2-1)

．由此能证明k₁•k₂是定值．

解答：解：（1）∵l与圆相切，∴1=

|m|

1+k2

∴m²=1+k²（2分）
由

y=kx+m x2-y2=1

，得（1-k²）x²-2mkx-（m²+1）=0，∴

1-k2≠0 △=4m2k2+4(1-k2) x1•x2= m2+1 k2-1 ＜0

(m2+1)=4(m2+1-k2)=8＞0，∴k²＜1，∴-1＜k＜1，故k的取值范围为（-1，1）．（5分）
由于x1+x2=

2mk

1-k2

∴x2-x1=

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 2

|1-k2|

=

2 2

1-k2

，
∵0≤k²＜1∴当k²=0时，x₂-x₁取最小值2

2

．（7分）
（2）由已知可得A₁，A₂的坐标分别为（-1，0），（1，0），
∴k1=

y1

x1+1

，k2=

y2

x2-1

，∴k1•k2=

y1y2

(x1+1)(x2-1)

=

(kx1+m)(kx2+m)

(x1+1)(x2-1)

（10分）
=

k2x1x2+mk(x1+x2)+m2

x1x2+(x2-x1)-1

=

k2• m2+1 k2-1 -mk• 2mk k2-1 +m2

m2+1 k2-1 - 2 2 k2-1 -1

=

m2k2+k2-2m2k2+m2k2-m2

m2+1-2 2 -k2+1

=

k2-m2

m2-k2+2-2 2

，
由m²-k²=1，∴k1•k2=

-1

3-2 2

=-(3+2

2

)为定值．（14分）

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，双曲线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．