(13分) 已知椭圆C的中心在原点,离心率等于,它的一个短轴端点点恰好是抛物线 的焦点。
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知P(2,3)、Q(2,-3)是椭圆上的两点,A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点,
①若直线AB的斜率为,求四边形APBQ面积的最大值;
②当A、B运动时,满足=,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由。
【解析】
试题分析:(1)根据离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点,易求出a,b的值,得到椭圆C的方程.
(2)设出直线AB的方程代入椭圆的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合根与系数的关系,求得四边形APBQ的面积,从而可求四边形APBQ面积的最大值;
(3)设直线PA的斜率为k,则PB的斜率为-k,将直线的方程代入椭圆的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合根与系数的关系,即可求得得出AB的斜率为定值.
试题解析:(1)设C方程为(a>b>0),则。由,,得 故椭圆C的方程为。 4分
(2)①设(,),B(,),直线AB的方程为,代入中整理得,△>0-4<<4,+=,=
四边形APBQ的面积=,当时
②当=时,PA、PB的斜率之和为0,设直线PA的斜率为,则PB的斜率为-,PA的直线方程为,代入中整理得
+=0,2+=,
同理2+=,+=,-=,
从而=,即直线AB的斜率为定值 13分
考点:1.直线与圆锥曲线的综合问题;2.椭圆的标准方程.
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