分析 先求出点M′的坐标,再用两点式求出直线M′N的方程,用点到直线的距离公式求得点M到直线M′N的距离.根据两个点关于直线对称的性质求得|PM|+|PN|取得最小值为|M′N|,计算求得结果.
解答 解:如图所示:
点M(-1,0)关于直线l:x-y=0的对称点为M′(0,-1),
故直线M′N的方程为 $\frac{y+1}{5+1}$=$\frac{x-0}{2-0}$,即 3x-y-1=0,
故点M到直线M′N的距离为 $\frac{|-3-0-1|}{\sqrt{9+1}}$=$\frac{2}{5}$$\sqrt{10}$.
由于|PM|+|PN|=|PM′|+|PN|,故当点P是M′N和直线l的交点时,|PM|+|PN|取得最小值时,
且此最小值为|M′N|$\sqrt{{(5+1)}^{2}{+(2-0)}^{2}}$=2$\sqrt{10}$,
故答案为:$\frac{2}{5}\sqrt{10}$;2$\sqrt{10}$.
点评 本题主要考查求一个点关于直线的对称点的坐标,两个点关于直线对称的性质,用两点式求直线的方程,点到直线的距离公式,体现了数形结合的数学思想,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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