Question

9．已知点M（-1，0），N（2，5），设点M关于直线l：x-y=0的对称点为M′，则点M到直线M′N的距离是$\frac{2}{5}$$\sqrt{10}$；若点P在直线l上运动，则|PM|+|PN|的最小值是2$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 先求出点M′的坐标，再用两点式求出直线M′N的方程，用点到直线的距离公式求得点M到直线M′N的距离．根据两个点关于直线对称的性质求得|PM|+|PN|取得最小值为|M′N|，计算求得结果．

解答 解：如图所示：
点M（-1，0）关于直线l：x-y=0的对称点为M′（0，-1），
故直线M′N的方程为 $\frac{y+1}{5+1}$=$\frac{x-0}{2-0}$，即 3x-y-1=0，
故点M到直线M′N的距离为 $\frac{|-3-0-1|}{\sqrt{9+1}}$=$\frac{2}{5}$$\sqrt{10}$．
由于|PM|+|PN|=|PM′|+|PN|，故当点P是M′N和直线l的交点时，|PM|+|PN|取得最小值时，
且此最小值为|M′N|$\sqrt{{（5+1）}^{2}{+（2-0）}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
故答案为：$\frac{2}{5}\sqrt{10}$；2$\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查求一个点关于直线的对称点的坐标，两个点关于直线对称的性质，用两点式求直线的方程，点到直线的距离公式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．