Question

11．已知向量$\overrightarrow m=（sin\frac{x}{2}，cos\frac{x}{2}），\overrightarrow n=（\sqrt{3}cos\frac{x}{2}，cos\frac{x}{2}）$，记$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若对任意$x∈[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，不等式$f（x）-m+\frac{1}{2}＜0$恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由平面向量数量积的运算化简可得解析式$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$，由周期公式可求最小正周期T，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得单调递增区间．
（2）由$x∈[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，可求2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，可求f（x）∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]，由$f（x）-m+\frac{1}{2}＜0$，解得：sin（2x+$\frac{π}{6}$）＜m．即可解得实数m的取值范围．

解答 解：（1）∵$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$=$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+cos²$\frac{x}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1+cos2x}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$，
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得单调递增区间是：[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（2）∵$x∈[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]．
∵$f（x）-m+\frac{1}{2}＜0$，即sin（2x+$\frac{π}{6}$）$+\frac{1}{2}$-m+$\frac{1}{2}$＜0，解得：sin（2x+$\frac{π}{6}$）＜m．
∴解得：m∈[$\frac{3}{2}$，+∞）．

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．