Question

如图⊙O的两弦AB，CD所在直线交于圆外一点P．
（1）若PC=2，CD=1，点A为PB的中点，求弦AB的长；
（2）若PO平分∠BPD，求证：PB=PD．

Answer 1

分析：（1）利用割线定理即可得出；
（2）利用垂径定理、同圆中的弦与弦心距的关系定理、角平分线的性质及全等三角形的判定与性质即可得出．

解答：解（1）由割线定理可得：PA•PB=PC•PD，
∵点A为PB的中点，∴PA=AB，∴AB•2AB=2×3，解得AB=

3

．
（2）作OM⊥CD于 M，ON⊥AB于N，
∵PO平分∠BPD，∴OM=ON，在同圆中弦心距相等，∴AB=CD，
∴点M平分弦CD，点N平分弦AB，∴AN=NB，CM=MD，∴NB=MD．
又∵△PON≌△POM，∴PN=PM，
∴PN+NB=PM+MD，
∴PB=PD．

点评：熟练掌握圆的割线定理、垂径定理、同圆中的弦与弦心距的关系定理、角平分线的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．