Question

（本题满分8分）

如图，A₁A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径， C是底面圆周上异于A，B的任意一点，A₁A= AB=2.

（Ⅰ）求证: BC⊥平面A₁AC；

（Ⅱ）求三棱锥A₁-ABC的体积的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）略

（Ⅱ）时，三棱锥A₁-ABC的体积的最大值为.   

【解析】证明:∵C是底面圆周上异于A，B的任意一点，且AB是圆柱底面圆的直径，

∴BC⊥AC, ∵AA₁⊥平面ABC，BCÌ平面ABC，∴AA₁⊥BC，

∵AA₁∩AC=A，AA₁Ì平面AA₁ C，ACÌ平面AA₁ C，

∴BC⊥平面AA₁C. （3分）

(2)设AC=x，在Rt△ABC中， (0<x<2) ,

故(0<x<2),　　（５分）

即.

∵0<x<2，0<x²<4，∴当x²=2，

即时，三棱锥A₁-ABC的体积的最大值为.　　（８分）