Question

已知函数f（x）=sin（2x+

π

2

），给出下面四个命题：
①函数f（x）的最小正周期为π；
②函数f（x）是偶函数；
③函数f（x）的图象关于直线x=

π

4

对称；
④函数f（x）在区间[0，

π

2

]上是增函数，
其中错误命题的序号是

③④

．

Answer 1

分析：①根据函数y=Asin（ωx+Φ）的最小正周期判定①是否正确；
化简函数，利用奇偶函数的定义判断②是否正确；
根据正弦函数图象的对称轴，求得本题函数的对称轴方程，判断③的正确性；
根据正弦函数的递增区间，求得本函数的递增区间，判断④是否正确．

解答：解：函数的最小正周期是

2π

2

=π，∴①正确；
∵f（x）=cos2x，f（-x）=cos（-2x）=cos2x=f（x），∴②正确；
∵x=

π

4

时，2×x+

π

2

=π≠kπ+

π

2

，k∈Z，∴③错误；
∵函数的增区间2kπ-

π

2

≤2x+

π

2

≤2kπ+

π

2

，k∈Z⇒kπ-

π

2

≤x≤kπ，k∈Z，∴[0，

π

2

]是减区间，故④错误．
故答案是③④

点评：本题借助考查命题的真假判定，考查y=Asin（ωx+Φ）函数的性质．