Question

已知函数f(x)=2cosxsin(x+

π

3

)-

3

sin2x+sinxcosx+2（x∈R），
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？

Answer 1

分析：（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行化简整理求得函数的解析式，进而利用T=

2π

w

求得最小正周期，根据正弦函数的单调性求得单调增区间；
（2）利用左加右减，上加下减的原则，将函数y=sinx纵坐标不变，横坐标扩大2倍得到y=sin2x，再向左平移

π

6

个单位得到函数y=sin（2x+

π

3

）纵坐标不变，横坐标扩大2倍得到y=2sin（2x+

π

3

），再把图象向上平移2个单位得到函数y=2sin（2x+

π

3

）+2

解答：解：（1）f(x)=2cosxsin(x+

π

3

)-

3

sin2x+sinxcosx+2=2sin（2x+

π

3

）+2
∴最小正周期T=

2π

2

=π，当2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

时，即kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，函数单调增
∴函数的单调增区间为：[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）
（2）由函数y=sinx纵坐标不变，横坐标扩大2倍得到y=sin2x，再向左平移

π

6

个单位得到函数y=sin（2x+

π

3

）
纵坐标不变，横坐标扩大2倍得到y=2sin（2x+

π

3

），再把图象向上平移2个单位得到函数y=2sin（2x+

π

3

）+2

点评：本题主要考查了三角函数的基本性质和三角函数的图象变换．考查了学生对基础知识点综合运用．