Question

i设关于x的方程是x²-(tanθ+i)x-(2+i)=0.

(1)若方程有实数根,求锐角θ和实数根;

(2)证明对任意θ≠kπ+(k∈Z),方程无纯虚数根.

Answer 1

剖析:(1)对于复数方程存在实根的问题,一般可先设出实根,然后再利用复数相等的条件求解.

    (2)直接证明有困难时,可用反证法.

(1)解:设实数根为α,则α²-(tanθ+i)α-2(2+i)=0,

    即α²-tanθ·α-2-(α+1)i=0.

    ∴

    又θ∈(0,),∴θ=,α=-1.

    (2)证明:若方程有纯虚数根βi(β∈R,β≠0),则(βi)²-(tanθ+i)·(βi)-(2+i)=0.

    ∴

    此方程组无解,

    ∴原方程没有纯虚数根.