Question

15．为了研究某灌溉渠道水的流速y与水深x之间的关系，测得一组数据如下表：

水深x（m）	1.6	1.7	1.8	1.9	2.0
流速y（m/s）	1	1.5	2	2.5	3

（1）画出散点图，判断变量y与x是否具有相关关系；
（2）若y与x之间具有线性相关关系，求y对x的回归直线方程； （$\sum_{i=1}^5{x_i^2}=16.3$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}=18.5$）
（3）预测水深为1.95m水的流速是多少．
参考公式：$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2}-n{{\overline x}^2}}}$$a=\overline y-b\overline x$．

Answer 1

分析 （1）根据散点图可以直观地看出变量y与x之间有近似的线性相关关系；
（2）求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，由回归直线的斜率可求回归直线的方程；
（3）当x=1.95时，代入回归直线方程计算，即可得到水深为1.95m水的流速

解答 解：（1）散点图如图，
由图象知变量y与x具有相关关系．…（2分）
（2）经计算可得$\overline{x}=1.8$，$\overline y=2$，$\sum_{i=1}^5{x_i^2}=16.3$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}=18.5$…（4分）
b=$\frac{{\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}-5×\bar x\bar y}}{{\sum_{i=1}^5{x_i^2}-5×{{\bar x}^2}}}$=$\frac{18.5-5×1.8×2}{{16.3-5×{{1.8}^2}}}=5$…（6分）
a=$\overline y$-b$\overline x$=2-5×1.8=-7．…（7分）
故所求的回归直线方程为y=5x-7．…（8分）
（3）当x=1.95时，y?=5×1.95-7=2.75．
即水深为1.95m 时水的流速约是2.75m/s．…（10分）

点评 本题考查线性回归方程，考查线性回归方程的应用，从散点图可以直观地看出变y与x之间有线性相关关系，利用线性回归方程用来预报当自变量取某一个数值时对应的y的值，属于基础题．