Question

已知双曲线与椭圆有相同的焦点，点、分别是椭圆的右、右顶点，若椭圆经过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知是椭圆的右焦点，以为直径的圆记为，过点引圆的切线，求此切线的方程；
（3）设为直线上的点，是圆上的任意一点，是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ）．（Ⅲ）存在定点

试题分析：（Ⅰ）依题意，，
所以椭圆的方程为，
代入D点坐标，解得，由此得，
所以椭圆的方程为．                     （4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故圆的方程为，
则由知，点在圆上，
因为，所以切线的斜率为，
故所求切线的方程为，
即．                           （8分）
（Ⅲ）设，假设存在点满足题意，
则，
点在圆C：上，，
化简得，
因为该式对任意的恒成立，则解得
故存在定点对于直线上的点及圆上的任意一点使得成立．                           （12分）
点评：从近几年课标地区的高考命题来看，解析几何综合题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系以及范围、最值、定点、定值、存在性等问题，直线与多种曲线的位置关系的综合问题将会逐步成为今后命题的热点，尤其是把直线和圆的位置关系同本部分知识的结合，将逐步成为今后命题的一种趋势.近几年高考题中经常出现了以函数、平面向量、导数、数列、不等式、平面几何、数学思想方法等知识为背景，综合考查运用圆锥曲线的有关知识分析问题、解决问题的能力，试题风格每年都有所创新，但总体稳定.