Question

已知函数y=f（x）（x∈R）对任意实数x，y，有f(x)+f(y)=2f(

x+y

2

)•f(

x-y

2

)恒成立，且f（0）≠0
（1）求f（0）的值；
（2）试判断函数y=f（x）（x∈R）的奇偶性；
（3）若函数y=f（x）（x∈R）在[0，+∞）上单调递增，f（x-1）-2a+3≥0恒成立，试求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）可以令x=y=0，代入f(x)+f(y)=2f(

x+y

2

)•f(

x-y

2

)进行求解，求出f（0）；
（2）令y=-x，代入f(x)+f(y)=2f(

x+y

2

)•f(

x-y

2

)，再把f（0）的值代入，可以求出f（x）为偶函数；
（3）函数y=f（x）（x∈R）在[0，+∞）上单调递增，求出f（x-1）的单调性，因为f（x-1）-2a+3≥0恒成立，求出f（x-1）的最小值即可求解；

解答：解（1）令x=y=0，
∴2f（0）=2f（0）•f（0）
∴f（0）=0或f（0）=1而f（0）≠0
∴f（0）=1
（2）令y=-x
∴f（x）+f（-x）=2[f（0）•f（x）]
由（1）知f（0）=1
∴f（-x）=f（x）
∵f（x）的定义域为R
∴f（x）为偶函数
（3）∵y=f（x）是偶函数且在[0，+∞）上单调递增
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减
∴f（x-1）在（-∞，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增
∴f（x-1）_min=f（0）=1，
∴f（x-1）-2a+3≥0恒成立，只需1-2a+3≥0，
∴a≤2；

点评：此题主要考查抽象函数的应用，本题涉及函数的恒成立问题，解题的过程中用到了转化的思想，此题是一道中档题；