Question

1．某种蔬菜基地种植西红柿由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价p与上市时间t的关系图是一条折线（如图（1）），种植成本Q与上市时间t的关系是一条抛物线（如图（2））．
（1）写出西红柿的市场售价与时间的函数解析式p=f（t）．
（2）写出西红柿的种植成本与时间的函数解析式Q=g（t）．
（3）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

Answer 1

分析 （1）本题是一次函数的分段函数，运用一次函数的解析式，即可得到所求；
（2）运用二次函数的解析式，解方程可得，写出自变量的范围；
（3）基本等量关系是：纯收益=市场售价-种植成本．由于P是分段函数，所以h也是分段函数，求最大利润，就要在每一个分段函数内，根据自变量取值范围，函数性质来确定．

解答 解：（1）由图-设f（t）=kt+300，（0≤t≤200），
代入（200，100），可得k=-1；
设f（t）=mt+b，200＜t≤300，代入（200，100），（300，300），
可得100=200m+b，300m+b=300，解得m=2，b=-300．
可得市场售价与时间的函数关系为
P=f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{300-t，0≤t≤200}\\{2t-300，200＜t≤300}\end{array}\right.$；
（2）由图二可得可设g（t）=a（t-150）²+100，
代入点（50，150），解得a=$\frac{1}{200}$，
则种植成本与时间的函数关系为
Q=g（t）=$\frac{1}{200}$（t-150）²+100，0≤t≤300；
（3）设t时刻的纯收益为h，则由题意得h=P-Q，即
h=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{200}{t}^{2}+\frac{1}{2}t+\frac{175}{2}，0≤t≤200}\\{-\frac{1}{200}{t}^{2}+\frac{7}{2}t-\frac{1025}{2}，200＜t≤300}\end{array}\right.$，
当0≤t≤200时，配方整理得h=-$\frac{1}{200}$（t-50）²+100，
所以，当t=50时，h（t）取得区间[0，200]上的最大值100
当200＜t≤300时，配方整理得h=-$\frac{1}{200}$（t-350）²+100，
所以，当t=300时，h取得区间[200，300]上的最大值87.5，
综上，由100＞87.5可知，h在区间[0，300]上可以取得最大值100，
此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．

点评 本题考查一次函数与分段函数，二次函数，自变量取值范围在本题中都得到了体现，要根据题目给的范围，找准等量关系，分段求最大值．