分析:(1)根据题中已知条件以及等差数列的基本性质,先求出bn的通项公式,然后证明为常数即可证明;
(2)先求出bn的通项公式,然后求出cn的表达式,可知数列cn从第二项起随n增大而减小,故cn≤c2,即t=c2,便可求出t的最小值;
(3)根据题意先求出dn的表达式,然后求出Sn的表达式,因为2008-1120=888=296×3,是3的倍数,所以存在自然数m,使Sm=2008.
解答:解:(1)由已知
bn=()an,(1分)
所以,
=()an+1-an=()d(常数),(3分)
所以,数列{b
n}是等比数列.(4分)
(2)公差d=1,则a
n=n,得
bn=()n,
∴
cn=n()n,(8分)
cn-cn+1=n()n-(n+1)()n+1=()n≥0,
∴c
1=c
2>c
3>c
4>c
n>数列{c
n}从第二项起随n增大而减小(9分)
∴又
c1=c2=,则
≤.得0<t≤2最大的实数t的值等于2(11分)
(3)∵a
n=n,∴数列{d
n}中,从第一项a
1开始到a
k为止(含a
k项)的所有项的和是
(1+2++k)+(31+32++3k-1)=+,(13分)
当k=7时,其和是
28+=1120<2008,(14分)
而当k=8时,其和是
36+=3315>2008.(15分)
又因为2008-1120=888=296×3,是3的倍数,
所以存在自然数m,使S
m=2008.
此时m=7+(1+3+3
2+…+3
5)+296=667.(18分)
点评:本题考查了等差数列和等比数列的基本性质以及函数的综合应用,考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握,解题时注意整体思想和转化思想的运用,属于中档题.