Question

设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1．”
（Ⅰ）判断函数f(x)=

x

2

+

sinx

4

是否是集合M中的元素，并说明理由；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-x，判断g（x）的单调性（f（x）∈M）；
（Ⅲ）设x₁＜x₂，证明：0＜f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁．

Answer 1

分析：（I）由求导公式算出f′(x)=

1

2

+

1

4

cosx，结合余弦函数的值域得到f′(x)∈[

1

4

，

3

4

]，可得f（x）满足条件②，再由方程f （x）-x=0有实数根x=0，可得f（x）满足条件①，由此可得函数f(x)=

x

2

+

sinx

4

是集合M中的元素．
（II）算出g'（x）=f'（x）-1，根据题意得g'（x）＜0，由此可得g（x）为单调减函数；
（III）运用导数研究函数的单调性，可得f（x）为增函数且g（x）=f（x）-x为减函数，由此将x₁＜x₂代入得到f（x₁）＜f（x₂）且g（x₁）＞g（x₂），再进行化简整理即可证出原不等式成立．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

x

2

+

sinx

4

，∴求导数，得f′(x)=

1

2

+

1

4

cosx，
由cosx∈[-1，1]，可得f′(x)∈[

1

4

，

3

4

]，满足条件0＜f′（x）＜1，
又∵当x=0时，f （0）=0，∴方程f （x）-x=0有实数根x=0．
因此，函数f(x)=

x

2

+

sinx

4

是集合M中的元素．
（Ⅱ）∵g（x）=f（x）-x，∴求导数得：g'（x）=f'（x）-1
∵函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1，
∴g'（x）=f'（x）-1＜0，可得g（x）为单调减函数；
（Ⅲ）∵函数y=f（x）满足f'（x）＞0，∴f（x）为增函数，
又∵x₁＜x₂，∴f（x₁）＜f（x₂），可得f（x₂）-f（x₁）＞0．
又∵由（II）的结论，得g（x）=f（x）-x为单调减函数，
∴g（x₁）＞g（x₂），可得f（x₁）-x₁＞f（x₂）-x₂，
即f（x₁）-x₁-f（x₂）+x₂＞0，整理得f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁，
综上所述，0＜f（x₂）-f（x₁）＜x₂-x₁成立．

点评：本题给出函数的特殊定义，判断f(x)=

x

2

+

sinx

4

是否符合该定义，并依此定义证明不等式恒成立．着重考查了利用导数研究函数的单调性、运用函数的单调性证明不等式和不等式的等价变形等知识，属于中档题．