Question

（2013•梅州一模）已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E，F分别是AB、PD的中点．
（1）求证：AF∥平面PEC；
（2）求二面角P-EC-D的余弦值；
（3）求点B到平面PEC的距离．

Answer 1

分析：（1）由题意可知AP，AB，AD三边所在直线两两互相垂直，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，求出图中点的坐标，取PC中点M，求出向量

AF

与

EM

的坐标，由坐标可知向量

AF

与

EM

平行，从而得到AF∥EM，由线面平行的判定得结论；
（2）求出两个平面PEC和ECD的法向量，利用法向量所成角的余弦值求二面角P-EC-D的余弦值；
（3）在平面PEC内任取一点E，和B连线后得一向量

BE

，由公式|

EB • m

| m |

|求点B到平面PEC的距离．

解答：（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，所以以A为原点，如图建立直角坐标系．

则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，1，0），E（1，0，0），F（0，

1

2

，

1

2

），P（0，0，1）．
取PC的中点M，连结ME．则M（1，

1

2

，

1

2

），

AF

=(0，

1

2

，

1

2

)，

EM

=(0，

1

2

，

1

2

)．
故

AF

∥

EM

，即AF∥EM，又EM?平面PEC，AF?平面PEC，所以AF∥平面PEC；
（2）设平面PEC的法向量为

m

=(x，y，z)，

PE

=(1，0，-1)，

EC

=(1，1，0)，
则

m • PE =0 m • EC =0

，可得

x-z=0 x+y=0

，令z=-1，得y=1，x=-1．
则

m

=(-1，1，-1)，
取平面ABCD的一个法向量为

PA

=(0，0，-1)．
cos＜

m

，

PA

＞=

m • PA

| m |•| PA |

1

3

=

3

3

．
所以二面角P-EC-D的余弦值等于

3

3

；
（3）

EB

=(1，0，0)，平面PEC的法向量

m

=(-1，1，-1)，
所以点B到平面PEC的距离d=|

EB • m

| m |

|=|

-1

3

|=

3

3

．

点评：本题考查了直线与平面平行的判定，考查了二面角的平面角及其求法，考查了点到面的距离，利用空间向量进行证明和计算能够使问题变得简单化，但关键是掌握向量的用法．理解其中的算理．此题是中档题．