Question

4．已知P是非等边△ABC外接圆上任意一点，求：当P分别位于何处时，PA²+PB²+PC²分别取到最大值和最小值．

Answer 1

分析 设外接圆半径为R，点O是外心，可得PA²+PB²+PC²=（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OA}$）²+（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OB}$）²+（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OC}$）²，由向量的运算和三角形的垂心的性质可得．

解答 解：如图，设非等边△ABC外接圆半径为R，点O是外心，
则PA²+PB²+PC²=（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OA}$）²+（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OB}$）²+（$\overrightarrow{PO}$+$\overrightarrow{OC}$）²
=6R²+2（$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{OC}$）
=6R²+2$\overrightarrow{PO}$•（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）
=6R²+2$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{OH}$ （H为△ABC垂心），
∴当P为OH的反向延长线与外接圆交点时，已知式子有最大值6R²+2R•OH；
当P为OH的延长线与外接圆交点时，已知式子有最小值6R²-2R•OH．

点评 本题考查三角形的外接圆的性质，涉及外心和垂心的性质以及向量的运算，属中档题．