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14.已知函数f(x)=$\frac{x}{3x+1}$,数列{an}满足a1=1,an+1=f(an)(n∈N*),求证:数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列.

分析 根据所给函数f(x)=$\frac{x}{3x+1}$,及数列{an}满足a1=1,an+1=f(an)(n∈N*)即可获得{an}的递推关系,然后通过推出 $\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2得到证明.

解答 证明:由已知得,an+1=f(an)可得an+1=$\frac{{a}_{n}}{{2a}_{n}+1}$,
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+2,即 $\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2.a1=1,∴$\frac{1}{{a}_{1}}=1$,
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为1,公差d=2的等差数列.

点评 本题考查等差数列的判定,揭示了函数和数列的内在联系,数列递推关系式的应用,考查计算能力.

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