Question

14．已知函数f（x）=$\frac{x}{3x+1}$，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*），求证：数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列．

Answer 1

分析 根据所给函数f（x）=$\frac{x}{3x+1}$，及数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）即可获得{a_n}的递推关系，然后通过推出 $\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2得到证明．

解答 证明：由已知得，a_n+1=f（a_n）可得a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{2a}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+2，即 $\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2．a₁=1，∴$\frac{1}{{a}_{1}}=1$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为1，公差d=2的等差数列．

点评 本题考查等差数列的判定，揭示了函数和数列的内在联系，数列递推关系式的应用，考查计算能力．