Question

13．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大时，其高的值为（　　）

• A． 3$\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{6}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据正六棱柱和球的对称性，球心O必然是正六棱柱上下底面中心连线的中点，作出过正六棱柱的对角面的轴截面即可得到正六棱柱的底面边长、高和球的半径的关系，在这个关系下求函数取得最值的条件即可求出所要求的量．

解答 解：以正六棱柱的最大对角面作截面，如图．设球心为O，正六棱柱的上下底面中心分别为O₁，O₂，则O是O₁，O₂的中点．设正六棱柱的底面边长为a，高为2h，则a²+h²=9．正六棱柱的体积为V=$6×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}×2h$=$3\sqrt{3}（9-{h}^{2}）h$，则V′=3$\sqrt{3}$（9-3h²），
得极值点h=$\sqrt{3}$，不难知道这个极值点是极大值点，也是最大值点．故当正六棱柱的体积最大，其高为2$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题是在空间几何体、导数的应用交汇处命制，解题的关键是建立正六棱柱体积的函数关系式．