Question

设函数f（x）=e^x，其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数g（x）=f（x）-ex的单调区间；
（Ⅱ）记曲线y=f（x）在点P（x₀，f（x₀））（其中x₀＜0）处的切线为l，l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S，求S的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数的解析式，求出g'（x）=e^x-e，利用导数求函数的单调区间，令导数大于0，解出增区间，令导数小于0，求出减区间．
（Ⅱ）由导数求出点P（x₀，f（x₀））（其中x₀＜0）处的切线为l的方程，求出直线与x轴、y轴的交点坐标，将面积S表示出的函数，再利用导数研究它的最值

解答：解：（Ⅰ）由已知g（x）=e^x-ex，
所以g'（x）=e^x-e，…（1分）
由g'（x）=e^x-e=0，得x=1，
所以，在区间（-∞，1）上，g'（x）＜0，
函数g（x）在区间（-∞，1）上单调递减；
在区间（1，+∞）上，g'（x）＞0，
函数g（x）在区间（1，+∞）上单调递增；                      …（4分）
即函数g（x）的单调递减区间为（-∞，1），单调递增区间为（1，+∞）．
（Ⅱ）因为f'（x）=e^x，
所以曲线y=f（x）在点P处切线为l：y-ex0=ex0(x-x0)．…（6分）
切线l与x轴的交点为（x₀-1，0），与y轴的交点为(0，ex0-x0ex0)，…（8分）
因为x₀＜0，所以S=

1

2

(1-x0)(1-x0)ex0=

1

2

(1-2x0+

x

2 0

)ex0，
∵S′=

1

2

ex0(

x

2 0

-1)，
∴在区间（-∞，-1）上，函数S（x₀）单调递增，在区间（-1，0）上，函数S（x₀）单调递减．…（10分）
所以，当x₀=-1时，S有最大值，此时S=

2

e

，
所以，S的最大值为

2

e

．…（12分）

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，解答本题关键是理解导数与函数单调性的关系，此类题主要有两种类型，一是用导数研究单调性，一是由单调性得函数导数的符号，由此建立不等式求参数，本题的第一问属于此类，解答第二问时要注意数形结合