(1)当且仅当x1+x2取何值时,直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论;
(2)当直线l的斜率为2时,求l在y轴上截距的取值范围.
解:(1)F∈l|FA|=|FB|A、B两点到抛物线的准线的距离相等.
∵抛物线的准线是x轴的平行线,y1≥0,y2≥0,
依题意y1、y2不同时为0,
∴上述条件等价于y1=y2?x12=x22?(x1+x2)(x1-x2)=0.
∵x1≠x2,∴上述条件等价于x1+x2=0,
即当且仅当x1+x2=0时,l经过抛物线的焦点F.
(2)设l在y轴上的截距为b,依题意得l的方程为y=2x+b;过点A、B的直线方程可写为y=-x+m,
∴x1、x2满足方程2x2+x-m=0,
得x1+x2=-.
A、B为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式Δ=+8m>0,即m>-.
设AB的中点N的坐标为(x0,y0),则
x0=(x1+x2)=-,y0=-x0+m=+m.
由N∈l,得+m=-+b,
于是b=+m>
即l在y轴上的截距的取值范围为(,+∞).
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设A(x1,y1)、B(x2,y2)两点在抛物线y=2x2上,l是AB的垂直平分线.
(1)当且仅当x1+x2取何值时,直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论.
(2)当直线l的斜率为2时,求l在y轴上的截距的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2011年湖南省长沙市高二上学期期末检测数学文卷 题型:选择题
设A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,并且满足OA⊥OB. 则y1y2等于
A – 4p2 B 4p2 C – 2p2 D 2p2
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(1)当且仅当x1+x2取何值时,直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论.
(2)当直线l的斜率为2时,求l在y轴上的截距的取值范围.
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(2)当直线l的斜率为2时,求l在y轴上截距的取值范围.
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