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A(x1,y1),B(x2,y2)两点在抛物线y=2x2上,lAB的垂直平分线.

(1)当且仅当x1+x2取何值时,直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论;

(2)当直线l的斜率为2时,求ly轴上截距的取值范围.

解:(1)Fl|FA|=|FB|AB两点到抛物线的准线的距离相等.

∵抛物线的准线是x轴的平行线,y1≥0,y2≥0,

依题意y1y2不同时为0,

∴上述条件等价于y1=y2?x12=x22?(x1+x2)(x1-x2)=0.

x1x2,∴上述条件等价于x1+x2=0,

即当且仅当x1+x2=0时,l经过抛物线的焦点F.

(2)设ly轴上的截距为b,依题意得l的方程为y=2x+b;过点AB的直线方程可写为y=-x+m,

x1x2满足方程2x2+x-m=0,

x1+x2=-.

AB为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式Δ=+8m>0,即m>-.

AB的中点N的坐标为(x0,y0),则

x0=(x1+x2)=-,y0=-x0+m=+m.

Nl,得+m=-+b,

于是b=+m

ly轴上的截距的取值范围为(,+∞).

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