Question

已知定义域在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0．
（Ⅰ）求f（0）；
（Ⅱ）判断函数的奇偶性，并证明之；
（Ⅲ）解不等式f（a-4）+f（2a+1）＜0．

Answer 1

分析：（1）利用赋值法：取x=y=0 则可求f（0）
（2）令y=-x，代入已知可得f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）=f（0）=0，可判断
（3）先判断函数的单调性，然后由f（x）是R上的单调性及不等式f（a-4）+f（2a+1）＜0可得关于a的不等式，可求

解答：（1）解：取x=y=0 则f（0）=2f（0）
∴f（0）=0
（2）f（x）是奇函数
证明：对任意x∈R，取y=-x；则f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）=f（0）=0 
即f（-x）=-f（x）∴f（x）是R上的奇函数
（3）任意取x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，则x₂=x₁+△x （其中△x＞0 ）
∴f（x₂）=f（x₁+△x）=f（x₁）+f（△x） 
∴f（x₂）-f（x₁）=f（△x）＞0 
即f（x₂）＞f（x₁） 
∴f（x）是R上的增函数对于不等式f（a-4）+f（2a+1）＜0；∴f（2a+1）＜-f（a-4）=f（4-a） 
∴2a+1＜4-a 
即a＜1

点评：本题主要考查了利用赋值法求解函数的函数值，判断函数的奇偶性、单调性及利用单调性求解不等式等函数知识的综合应用