Question

18．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（-3，$\sqrt{3}$）．
（1）求tanα的值；
（2）定义行列式运算$|\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}|$=ad-bc，求行列式$|\begin{array}{l}{sinα}&{tanα}\\{1}&{cosα}\end{array}|$的值；
（3）若函数f（x）=$|\begin{array}{l}{cos（x+α）}&{-sinα}\\{sin（x+α）}&{cosα}\end{array}|$（x∈R），求函数y=$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{2}$-2x）+2f²（x）的最大值，并指出取到最大值时x的值．

Answer 1

分析 （1）利用任意角的三角函数的定义，即可求出sinα，cosα，tanα的值．
（2）化简行列式利用（1）的结论即可求解．
（3）先利用三角函数中的恒等变换应用求得f（x），y，利用正弦函数的性质即可得解．

解答 解：（1）角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P（-3，$\sqrt{3}$），
∴OP=$\sqrt{（-3）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
∴sinα=$\frac{1}{2}$，cosα=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，tanα=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）$|\begin{array}{l}{sinα}&{tanα}\\{1}&{cosα}\end{array}|$=sinαcosα-tanα=$\frac{1}{2}×（-\frac{\sqrt{3}}{2}）$+$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{12}$．
（3）∵f（x）=$|\begin{array}{l}{cos（x+α）}&{-sinα}\\{sin（x+α）}&{cosα}\end{array}|$=cos（x+α）cosα+sinαsin（x+α）=cosxcos²α-sinxsinαcosα+sinxsinαcosα+cosxsin²α=cosx，
∴y=$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{2}$-2x）+2f²（x）=$\sqrt{3}$cos（$\frac{π}{2}$-2x）+2cos²x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∴当2x+$\frac{π}{6}$=2k$π+\frac{π}{2}$，即x=k$π+\frac{π}{6}$时，y_max=3．

点评 本题主要考查了任意角的三角函数的定义，正弦函数的性质，行列式的定义的应用，属于基本知识的考查．