Question

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（α＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，过F₁的直线l：x-y+2=0与y轴交于点M，满足|OM|=|OA|²（O为坐标原点）且，直线l与直线l′：x-y+m=0（m＜0）之间的距离为$\frac{5\sqrt{2}}{4}$．
（1）求椭圆C的方程：
（2）在直线l′上是否存在点P，满足|PF₁|=3|PF₂|？若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设出椭圆的焦点和上顶点，由直线l的方程可得c=2，求得M的坐标，由条件可得b，进而求出a，即有椭圆的方程；
（2）运用两直线平行的距离公式可得m，再由条件|PF₁|=3|PF₂|，将点P满足的关系式列出，通过此关系式与已知圆C₂的方程联系，再探求直线l'与圆的位置关系，即可判断点P的存在性．

解答 解：（1）椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（α＞b＞0）的左、右焦点为F₁（-c，0），F₂（c，0），上顶点为A（0，b），
由直线l：x-y+2=0，可得M（0，2），F₁（-2，0），即c=2，
由|OM|=|OA|²，可得b²=2，则a²=b²+c²=2+4=6，
即有椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）直线l与直线l′：x-y+m=0（m＜0）之间的距离为$\frac{5\sqrt{2}}{4}$．
即有d=$\frac{|m-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，解得m=-$\frac{1}{2}$（$\frac{9}{2}$舍去），
则直线l'：y=x-$\frac{1}{2}$，
∵F₁（-2，0），F₂（2，0），设P（x，y），
由|PF₁|=3|PF₂|可得$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=3$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$，
两边平方，可得x²+y²-5x+4=0，
整理得（x-$\frac{5}{2}$）²+y²=$\frac{9}{4}$，
此方程表示圆心（$\frac{5}{2}$，0），半径是$\frac{3}{2}$的圆，
由圆心到直线l'的距离为$\frac{|\frac{5}{2}-0-\frac{1}{2}|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$＜$\frac{3}{2}$，
故直线l'与圆相交，即这样的点P存在，且有2个．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的性质，考查直线和圆的位置关系，注意运用两点的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．