Question

已知椭圆两个焦点的坐标分别为，，并且经过点．过左焦点，斜率为的直线与椭圆交于，两点．设，延长，分别与椭圆交于两点．
（I）求椭圆的标准方程；  （II）若点，求点的坐标；
（III）设直线的斜率为，求证：为定值．

Answer 1

解：（I）因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为，
由椭圆的定义知,
.  ----------------2分
所以，,
所以所求椭圆的标准方程为.  ---------------4分
（II）直线的方程为，
代入椭圆方程，得
解得（舍），或.    --------------6分
代入直线的方程，得，
所以点的坐标为.  ---------------7分
（III）设，，，，
直线的方程为，所以.
代入椭圆方程，消去得：
.   --------------8分
又因为点在椭圆上，有
方程化简为.     -----------------9分
则，且，所以.
代入直线的方程，得，所以 .  -------------10分
同理，

.  ------------------12分
因为三点共线，所以.
即.  --------------------13分
所以，而.
所以为定值.  -------------------14分

略