Question

已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（　　）

A．25

B．24

C．20

D．19

Answer 1

分析：（法一）：根据两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数求解，
（法二）由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解方法来求解．

解答：解法一：设两个数列相同的项按原来的前后次序组成的新数列为{a_n}，则a₁=11
∵数列5，8，11，…与3，7，11，…公差分别为3与4，
∴{a_n}的公差d=3×4=12，
∴a_n=11+12（n-1）=12n-1．
又∵5，8，11，…与3，7，11，…的第100项分别是302与399，
∴a_n=12n-1≤302，即n≤25.5．
又∵n∈N*，
∴两个数列有25个相同的项．
故选A
解法二：设5，8，11，与3，7，11，分别为{a_n}与{b_n}，则a_n=3n+2，b_n=4n-1．
设{a_n}中的第n项与{b_n}中的第m项相同，
即3n+2=4m-1，∴n=

4

3

m-1．
又m、n∈N*，可设m=3r（r∈N*），得n=4r-1．
根据题意得 1≤3r≤100 1≤4r-1≤100  解得

1

2

≤r≤

101

4

∵r∈N*
从而有25个相同的项
故选A

点评：解法一利用了等差数列的性质，解法二利用了不定方程的求解方法，对学生的运算能力及逻辑思维能力的要求较高．