【题目】如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C. (Ⅰ)证明:AC=AB1;
(Ⅱ)若AC⊥AB1 , ∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值.
【答案】证明:(Ⅰ)连结BC1 , 交B1C于点O,连结AO, ∵侧面BB1C1C为菱形,
∴BC1⊥B1C,且O为BC1和B1C的中点,
又∵AB⊥B1C,∴B1C⊥平面ABO,
∵AO平面ABO,∴B1C⊥AO,
又B10=CO,∴AC=AB1 ,
(Ⅱ)∵AC⊥AB1 , 且O为B1C的中点,∴AO=CO,
又∵AB=BC,∴△BOA≌△BOC,∴OA⊥OB,
∴OA,OB,OB1两两垂直,
以O为坐标原点, 的方向为x轴的正方向,| |为单位长度,
的方向为y轴的正方向, 的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系,
∵∠CBB1=60°,∴△CBB1为正三角形,又AB=BC,
∴A(0,0, ),B(1,0,0,),B1(0, ,0),C(0, ,0)
∴ =(0, , ), = =(1,0, ), = =(﹣1, ,0),
设向量 =(x,y,z)是平面AA1B1的法向量,
则 ,可取 =(1, , ),
同理可得平面A1B1C1的一个法向量 =(1,﹣ , ),
∴cos< , >= = ,
∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为
【解析】(1)连结BC1 , 交B1C于点O,连结AO,可证B1C⊥平面ABO,可得B1C⊥AO,B10=CO,进而可得AC=AB1;(2)以O为坐标原点, 的方向为x轴的正方向, 为单位长度, 的方向为y轴的正方向, 的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系,分别可得两平面的法向量,可得所求余弦值.
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【题目】在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,E为棱CC1上的动点.
(1)若E为棱CC1的中点,求证:A1E⊥平面BDE;
(2)试确定E点的位置使直线A1C与平面BDE所成角的正弦值是 .
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【题目】已知椭圆C中心在原点,离心率 ,其右焦点是圆E:(x﹣1)2+y2=1的圆心.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)如图,过椭圆C上且位于y轴左侧的一点P作圆E的两条切线,分别交y轴于点M、N.试推断是否存在点P,使 ?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知等差数列{an}的前n项和为Sn , S3=﹣15,且a1+1,a2+1,a4+1成等比数列,公比不为1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn= ,求数列{bn}的前n项和Tn .
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【题目】设奇函数f(x)在区间[﹣7,﹣3]上是减函数且最大值为﹣5,函数g(x)= ,其中a< .
(1)判断并用定义法证明函数g(x)在(﹣2,+∞)上的单调性;
(2)求函数F(x)=f(x)+g(x)在区间[3,7]上的最小值.
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【题目】已知命题p:k2﹣8k﹣20≤0,命题q:方程 =1表示焦点在x轴上的双曲线. (Ⅰ)命题q为真命题,求实数k的取值范围;
(Ⅱ)若命题“p∨q”为真,命题“p∧q”为假,求实数k的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=2sinωxcosωx+2 sin2ωx﹣ (ω>0)的最小正周期为π. (Ⅰ)求函数f(x)的单调增区间;
(Ⅱ)将函数f(x)的图象向左平移 个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象.若y=g(x)在[0,b](b>0)上至少含有10个零点,求b的最小值.
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【题目】在△ABC中, = +
(Ⅰ)求△ABM与△ABC的面积之比
(Ⅱ)若N为AB中点, 与 交于点P且 =x +y (x,y∈R),求x+y的值.
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