Question

14．已知函数f（x）=$\frac{\sqrt{3-ax}}{a-1}$（a≠0，且a≠1）．
（1）若a＞0，试确定函数的单调区间，并指出相应的单调性；
（2）若f（x）在区间（0，1]上是减函数．求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若a＞0，根据复合函数单调性之间的关系即可试确定函数的单调区间，并指出相应的单调性；
（2）若f（x）在区间（0，1]上是减函数．根据（1）的结论即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）若a＞0，则由3-ax≥0，即ax≤3，则x≤$\frac{3}{a}$，
此时y=3-ax为减函数，
若a＞1，则a-1＞0，则$\frac{1}{a-1}$＞0，则此时函数f（x）为减函数，单调递减区间为（-∞，$\frac{3}{a}$]，
若0＜a＜1，则a-1＜0，则$\frac{1}{a-1}$＜0，则此时函数f（x）为增函数，单调递增区间为（-∞，$\frac{3}{a}$]，
（2）若f（x）在区间（0，1]上是减函数．
由（1）知，a＞1，且$\frac{3}{a}$≥1，即1＜a≤3
即实数a的取值范围是（1，3]．

点评 本题主要考查函数单调性和单调区间的求解，利用复合函数单调性的关系是解决本题的关键．