分析 (1)将a=1代入函数f(x)的表达式,求出函数的导数,从而求出函数f(x)的单调区间;
(2)先求出函数f(x)的导数,得到函数的单调区间,分别求出f(0),f(a)的值,从而得到结论;
(3)先求出g(a)的表达式,通过讨论a的范围,从而综合得到结论.
解答 解:(1)a=1时,f′(x)=3x2-3=3(x2-1),
令f′(x)>0,解得:x>1或x<-1,
令f′(x)<0,解得:-1<x<1,
∴函数f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)递增,在(-1,1)递减;
(2)∵f′(x)=3x2+3(1-a)x-3a=3(x-a)(x+1),且a>0,
∴f(x)在[0,a]上单调递减,在[a,+∞)上单调递增,
又f(0)=1,f(a)=-$\frac{1}{2}$a3-$\frac{3}{2}$a2+1=$\frac{1}{2}$(1-a)(a+2)2-1,
当f(a)≥-1时,取p=a,
此时,当x∈[0,p]时有-1≤f(x)≤1成立,
当f(a)<-1时,由于f(0)+1=2>0,f(a)+1<0,
故存在p∈(0,a)使得f(p)+1=0,
此时,当x∈[0,p]时有-1≤f(x)≤1成立,
综上,对于正数a,存在正数p,使得当x∈[0,p]时,有-1≤f(x)≤1.
(3)由(2)得f(x)在[0,+∞)上的最小值为f(a),
当0<a≤1时,f(a)≥-1,则g(a)是方程f(p)=1满足p>a的实根,
即2p2+3(1-a)p-6a=0满足p>a的实根,
∴g(a)=$\frac{3(a-1)+\sqrt{{9a}^{2}+30a+9}}{4}$,
又g(a)在(0,1]上单调递增,故g(a)max=g(1)=$\sqrt{3}$,
当a>1时,f(a)<-1,
由于f(0)=1,f(1)=$\frac{9}{2}$(1-a)-1<-1,
故[0,p]⊆[0,1],
此时g(a)≤1,
综上,g(a)max=$\sqrt{3}$.
点评 本题考查了函数的单调性,最值问题,考查导数的应用,分类讨论思想,本题属于难题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | ρcosθ=$\sqrt{3}$ | B. | ρcosθ=-$\sqrt{3}$ | C. | ρsinθ=1 | D. | ρsinθ=-1 |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 2008 | B. | 2014 | C. | 2012 | D. | 2013 |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
x | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
y | 30 | 40 | 60 | 50 | 70 |
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com