Question

（2010•昆明模拟）在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点A₁在底面ABCD内的射影恰好为点B，若AB=AD=

1

2

AA1，∠BAD=60°，则异面直线A₁B与B₁C所成角为（　　）

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

Answer 1

分析：先根据A₁D∥B₁C得到∠DA₁B（或其补角）即为异面直线A₁B与B₁C所成角；然后通过点A₁在底面ABCD内的射影恰好为点B的对应结论：A₁B⊥平面ABCD求出RT△A₁BD中两直角边长，进而求出角的度数．

解答：解：∵在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D∥B₁C，
∴∠DA₁B（或其补角）即为异面直线A₁B与B₁C所成角

设AB=AD=a，则AA₁=2a，
∵点A₁在底面ABCD内的射影恰好为点B
∴A₁B⊥平面ABCD，A₁B=

AA 12-AB 2

=

3

a；
∵∠BAD=60°，AB=AD，
∴BD=a，
在RT△A₁BD中，tan∠DA₁B=

BD

A1B

=

a

3 a

=

3

3

，
∴∠DA₁B=30°．
即异面直线A₁B与B₁C所成角：30°．
故选：A．

点评：本题主要考查异面直线及其所成的角．求异面直线所成角的关键在于通过作平行线，把异面直线所成角的问题转化为相交直线所成的角．