Question

已知m＞0且m≠1函数f（x）=logm

x-3

x+3

（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）若m=

1

2

，当x∈[5，9]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）令

x-3

x+3

＞0，解不等式可求函数的定义域
（2）检验f（-x）+f（x）=logm

x-3

x+3

+logm

-x-3

-x+3

=logm

(x-3)(-x-3)

(3+x)(3-x)

=log_m1=0可判断
（3）由题意可得f（x）=log

1

2

x-3

x+3

=log

1

2

(1+

-6

x+3

)，利用函数的单调性可求函数的最值

解答：解：（1）令

x-3

x+3

＞0，可得x＞3或x＜-3
∴函数的定义域为{x|x＞3或x＜-3}
（2）f（x）为奇函数
证明：∵函数的定义域为{x|x＞3或x＜-3}
∵f（-x）+f（x）=logm

x-3

x+3

+logm

-x-3

-x+3

=logm

(x-3)(-x-3)

(3+x)(3-x)

=log_m1=0
∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）为奇函数
（3）解：m=

1

2

时，f（x）=log

1

2

x-3

x+3

=log

1

2

(1+

-6

x+3

)
由于函数t=1+

-6

x +3

在定义域[5，9]上单调递增，而y=log

1

2

t为单调递减函数
由复合函数的单调性可知，函数f（x）=log

1

2

x-3

x+3

=log

1

2

(1+

-6

x+3

)在[5，9]上单调递减
∴f（x）_min=f（9）=1，f（x）_max=f（5）=2
函数f（x）的值域[1，2]

点评：本题综合考查了函数的定义域、函数的奇偶性及函数的单调性的判断及利用函数的单调性求解函数的最值