设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,求:
(Ⅰ)a的值;
(Ⅱ)函数f(x)的单调区间.
【答案】
分析:(1)先求出导函数的最小值,最小值与直线12x+y=6的斜率相等建立等式关系,求出a的值即可;
(2)先求导数fˊ(x),在函数的定义域内解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0,解得的区间就是所求.
解答:解:(Ⅰ)因f(x)=x
2+ax
2-9x-1
所以f'(x)=3x
2+2ax-9=
即当x=
时,f'(x)取得最小值
.
因斜率最小的切线与12x+y=6平行,即该切线的斜率为-12,
所以
解得a=±3,由题设a<0,所以a=-3.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知a=-3,因此f(x)=x
3-3x
2-9x-1,f'(x)=3x
2-6x-9=3(x-3(x+1)
令f'(x)=0,解得:x
1=-1,x
2=3.
当x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,故f(x)在(-∞,-1)上为增函数;
当x∈(-1,3)时,f'(x)<0,故f(x)在(-1,3)上为减函数;
当x∈(3,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(3,+∞)上为增函数.
由此可见,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(3,+∞);
单调递减区间为(-1,3).
点评:本小题主要考查导数的几何意义,及运用导数求函数的单调区间、一元二次不等式的解法等基础知识,属于基础题.