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【题目】在直角坐标系中,直线的参数方程为为参数,为直线的倾斜角),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.

(1)写出曲线的直角坐标方程,并求时直线的普通方程;

(2)直线和曲线交于两点,点的直角坐标为,求的最大值.

【答案】1:x2+y2﹣4y=0,;(2)

【解析】

(1)把=4sinθ两边同时乘以,然后结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程,由直线的参数方程可知直线过定点,并求得直线的斜率,即可写出直线的普通方程;

(2)把直线的参数方程代入曲线C的普通方程,化为关于t的一元二次方程,利用判别式、根与系数的关系及此时t的几何意义求解即可.

(1)由=4sinθ,得2=4ρsinθ,∴曲线的直角坐标方程为x2+y2﹣4y=0.

当a=时,直线过定点(2,3),斜率k=﹣

∴直线的普通方程为y﹣3=﹣,即

(2)把直线的参数方程为代入x2+y2﹣4y=0,

得t2+(2sina+4cosa)t+1=0.设的参数分别为t1,t2.

所以t1+t2=﹣(2sina+4cosa),t1t2=1,则t1与t2同号且小于0,

由△=(2sina+4cosa)2﹣4>0,得2sina+4cosa<﹣2或2sina+4cosa>2.

∴|PA|+|PB|=﹣(t1+t2)=2sina+4cosa=(tanθ=2).

∴|PA|+|PB|的最大值为

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