【题目】在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数,为直线的倾斜角),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)写出曲线的直角坐标方程,并求时直线的普通方程;
(2)直线和曲线交于两点,点的直角坐标为,求的最大值.
【答案】(1):x2+y2﹣4y=0,:;(2)
【解析】
(1)把=4sinθ两边同时乘以,然后结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程,由直线的参数方程可知直线过定点,并求得直线的斜率,即可写出直线的普通方程;
(2)把直线的参数方程代入曲线C的普通方程,化为关于t的一元二次方程,利用判别式、根与系数的关系及此时t的几何意义求解即可.
(1)由=4sinθ,得2=4ρsinθ,∴曲线的直角坐标方程为x2+y2﹣4y=0.
当a=时,直线过定点(2,3),斜率k=﹣.
∴直线的普通方程为y﹣3=﹣,即;
(2)把直线的参数方程为代入x2+y2﹣4y=0,
得t2+(2sina+4cosa)t+1=0.设的参数分别为t1,t2.
所以t1+t2=﹣(2sina+4cosa),t1t2=1,则t1与t2同号且小于0,
由△=(2sina+4cosa)2﹣4>0,得2sina+4cosa<﹣2或2sina+4cosa>2.
∴|PA|+|PB|=﹣(t1+t2)=2sina+4cosa=(tanθ=2).
∴|PA|+|PB|的最大值为.
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【题目】在平面直角坐标系中,以为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为;直线的参数方程为(为参数),直线与曲线分别交于,两点.
(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;
(2)若点的极坐标为,,求的值.
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【题目】已知椭圆的焦距为4,点P(2,3)在椭圆上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点P引圆的两条切线PA,PB,切线PA,PB与椭圆C的另一个交点分别为A,B,试问直线AB的斜率是否为定值?若是,求出其定值,若不是,请说明理由.
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【题目】已知函数,其中,,,,且的最小值为,的图象的相邻两条对称轴之间的距离为,的图象关于原点对称.
(1)求函数的解析式和单调递增区间;
(2)在中,角所对的边分别为,且,求.
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【题目】中国铁路总公司相关负责人表示,到2018年底,全国铁路营业里程达到13.1万公里,其中高铁营业里程2.9万公里,超过世界高铁总里程的三分之二,下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程(单位:万公里)的折线图,以下结论不正确的是( )
A.每相邻两年相比较,2014年到2015年铁路运营里程增加最显著
B.从2014年到2018年这5年,高铁运营里程与年价正相关
C.2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上
D.从2014年到2018年这5年,高铁运营里程数依次成等差数列
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【题目】已知椭圆: 的左、右焦点分别为,过任作一条与两条坐标轴都不垂直的直线,与椭圆交于两点,且的周长为8,当直线的斜率为时, 与轴垂直.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)在轴上是否存在定点,总能使平分?说明理由.
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【题目】上海途安型号出租车价格规定:起步费元,可行千米;千米以后按每千米按元计价,可再行千米;以后每千米都按元计价。假如忽略因交通拥挤而等待的时间.
请建立车费(元)和行车里程(千米)之间的函数关系式;
注意到上海出租车的计价系统是以元为单位计价的,如:小明乘坐途安型号出租车从华师大二附中本部到浦东实验学校走路线一(路线一总长千米)须付车费元,走路线二(路线二总长千米)也须付车费元.将上述函数解析式进行修正(符号表示不大于的最大整数,符号表示不小于的最小整数);并求小明乘坐途安型号出租车从华师大二附中本部到闵行分校须付车费多少元?(注:两校区路线长千米)
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