【题目】等比数列{an}是递减数列,前n项的积为Tn,若T13=4T9,则a8a15=( )
A. 2 B. ±2 C. 4 D. ±4
【答案】A
【解析】
由题意可得 q>1,且 an >0,由条件可得 a1a2…a13=4a1a2…a9,化简得a10a11a12a13=4,再由 a8a15=a10a13=a11a12,求得a8a15的值.
等比数列{an}是递增数列,其前n项的积为Tn(n∈N*),若T13=4T9 ,设公比为q,
则由题意可得 q>1,且 an >0.
∴a1a2…a13=4a1a2…a9,∴a10a11a12a13=4.
又由等比数列的性质可得 a8a15=a10a13=a11a12,∴a8a15=2.
故选:A.
【点睛】
本题主要考查等比数列的定义和性质,求得 a10a11a12a13=4是解题的关键.
【题型】单选题
【结束】
10
【题目】若直线y=2x上存在点(x,y)满足约束条件,则实数m的最大值为
A. -1 B. 1 C. D. 2
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【题目】袋中装有5个大小相同的球,其中有2个白球,2个黑球,1个红球,现从袋中每次取出1球,去除后不放回,直到取到有两种不同颜色的球时即终止,用表示终止取球时所需的取球次数,则随机变量的数字期望是( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥底面ABCD,AB∥CD,∠BAD= , AB=2,CD=3,M为PC上一点,PM=2MC.
(Ⅰ)证明:BM∥平面PAD;
(Ⅱ)若AD=2,PD=3,求二面角D﹣MB﹣C的正弦值.
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【题目】已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,若△ABC的周长为2(+1),且sin B+sin C=sin A,则a= ( )
A. B. 2 C. 4 D.
【答案】B
【解析】
根据正弦定理把转化为边的关系,进而根据△ABC的周长,联立方程组,可求出a的值.
根据正弦定理,可化为
∵△ABC的周长为,
∴联立方程组,
解得a=2.
故选:B
【点睛】
(1)在三角形中根据已知条件求未知的边或角时,要灵活选择正弦、余弦定理进行边角之间的转化,以达到求解的目的.
(2)求角的大小时,在得到角的某一个三角函数值后,还要根据角的范围才能确定角的大小,这点容易被忽视,解题时要注意.
【题型】单选题
【结束】
7
【题目】已知数列{an}中,an=n2-kn(n∈N*),且{an}单调递增,则k的取值范围是( )
A. (-∞,2] B. (-∞,2) C. (-∞,3] D. (-∞,3)
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【题目】“嫦娥奔月,举国欢庆”,据科学计算,运载“神六”的“长征二号”系列火箭,在点火第一秒钟通过的路程为2 km,以后每秒钟通过的路程都增加2 km,在达到离地面210 km的高度时,火箭与飞船分离,则这一过程大约需要的时间是______秒.
【答案】14
【解析】
设出每一秒钟的路程为一数列,由题意可知此数列为等差数列,然后根据等差数列的前n项和的公式表示出离地面的高度,让高度等于210列出关于n的方程,求出方程的解即可得到n的值.
设每一秒钟通过的路程依次为a1,a2,a3,…,an,
则数列{an}是首项a1=2,公差d=2的等差数列,
由求和公式有na1+=210,即2n+n(n﹣1)=210,
解得n=14,
故答案为:14
【点睛】
在解决等差、等比数列的运算问题时,有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现,应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件,有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时,经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
【题型】填空题
【结束】
16
【题目】已知直线l:+=1,M是直线l上的一个动点,过点M作x轴和y轴的垂线,垂足分别为A,B,点P是线段AB的靠近点A的一个三等分点,点P的轨迹方程为______.
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【题目】已知等差数列{an}满足a3=2,前3项和S3=.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设等比数列{bn}满足b1=a1,b4=a15,求{bn}的前n项和Tn.
【答案】(1)an=.(2)Tn=2n-1.
【解析】试题分析:(1)根据等差数列的基本量运算解出和,代入公式算出等差数列的通项公式;(2)计算出等比数列的首项和公比,代入求和公式计算.
试题解析:
(1)设{an}的公差为d,由已知得
解得a1=1,d=,
故{an}的通项公式an=1+,即an=.
(2)由(1)得b1=1,b4=a15==8.
设{bn}的公比为q,则q3==8,从而q=2,
故{bn}的前n项和Tn==2n-1.
点睛:本题考查等差数列的基本量运算求通项公式以及等比数列的前n项和,属于基础题. 在数列求和中,最常见最基本的求和就是等差数列、等比数列中的求和,这时除了熟练掌握求和公式外还要熟记一些常见的求和结论,再就是分清数列的项数,比如题中给出的,以免在套用公式时出错.
【题型】解答题
【结束】
20
【题目】设不等式mx2-2x-m+1<0对于满足|m|≤2的一切m的值都成立,求x的取值范围.
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【题目】已知圆F1:(x+1)2+y2=1,圆F2:(x﹣1)2+y2=25,动圆P与圆F1外切并且与圆F2内切,动圆圆心P的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)若曲线C与x轴的交点为A1 , A2 , 点M是曲线C上异于点A1 , A2的点,直线A1M与A2M的斜率分别为k1 , k2 , 求k1k2的值.
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【题目】在三棱锥A﹣BCD中,侧棱AB、AC、AD两两垂直,△ABC,△ACD,△ADB的面积分别为 , , , 则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为
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