Question

【题目】在一般情况下，城市主干道上的车流速度 （单位：千米/小时）是车流密度 （单位：辆/千米）的函数。当主干道上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时。研究表明：当 时，车流速度 是车流密度 的一次函数。
（1）当 时，求函数 的表达式；
（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过主干道上某观测点的车辆数，单位：辆/小时） 可以达到最大？并求出最大值。（精确到1辆/小时）

Answer 1

【答案】
（1）

由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b

再由已知得 ，解得 .

故函数v（x）的表达式为 .

答：函数v（x）的表达式 ；

（2）

依题并由（Ⅰ）可得 ，

当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200，

当20≤x≤200时，f（x）= ，当且仅当x=200-x，即x=100时，等号成立．

综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为 ≈3333，

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．

答：当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．

【解析】（1）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在20≤x≤200时的表达式，根据一次函数表达式的形 式，用待定系数法可求得；（2）先在区间（0，20]上，函数f（x）为增函数，得最大值为f（20）=1200，然后在区间[20，200]上用基本不 等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200]上的最大值．
【考点精析】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用的相关知识点，需要掌握用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”才能正确解答此题．