Question

旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为16000元．旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过35人时，飞机票每张收费800元；若旅行团的人数多于35人时，则予以优惠，每多1人，每个人的机票费减少10元，但旅行团的人数最多不超过60人．设旅行团的人数为x人，飞机票价格为y元，旅行社的利润为Q元．
（1）写出飞机票价格y元与旅行团人数x之间的函数关系式；
（2）当旅行团人数x为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润．

Answer 1

分析：（1）依题意得，当1≤x≤35时，y=800；当35＜x≤60时，y=800-10（x-35）=-10x+1150，从而得出结论．
（2）设利润为Q，则由Q=yx-1600可得Q的解析式．当1≤x≤35且x∈N时，求得Q_max的值，当35＜x≤60且x∈N时，再根据Q的解析式求得Q_max的值，再把这两个Q_max的值作比较，可得结论．

解答：解：（1）依题意得，当1≤x≤35时，y=800．
当35＜x≤60时，y=800-10（x-35）=-10x+1150；
∴y=

800 (1≤x≤35，且x∈N) -10x+1150 (35＜x≤60，且x∈N)

．…（4分）
（2）设利润为Q，则Q=y•x-16000=

800x-16000  (1≤x≤35，且x∈N) -10x2+1150x-16000 (35＜x≤60，且x∈N)

．…（6分）
当1≤x≤35且x∈N时，Q_max=800×35-16000=12000，
当35＜x≤60且x∈N时，Q=-10x2+1150x-16000=-10(x-

115

2

)2+

34125

2

，
因为x∈N，所以当x=57或x=58时，Q_max=17060＞12000．
故当旅游团人数为57或58时，旅行社可获得最大利润为17060元．…（13分）

点评：本题主要考查求函数最值的应用，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．