Question

【题目】已知函数f（x）= ；
（1）证明f（x）为奇函数；
（2）证明f（x）在区间（0，2）上为减函数．

Answer 1

【答案】
（1）证明：f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），

f（﹣x）= =﹣f（x），

故函数f（x）是奇函数

（2）证明：f（x）=x+ ，

设x1，x2∈（0，2），且x1＜x2，

∴f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）+4（ ﹣ ）=（x1﹣x2）+ =（x1﹣x2）（1﹣ ）=（x1﹣x2） ，

∵0＜x1＜x2＜2，

∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，x1x2＜4，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，

即f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在区间（0，2）上为减函数

【解析】1、由f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞）根据奇函数的定义可得f（x）是奇函数。
2、由函数增减性的定义可得。
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的判断方法的相关知识，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较，以及对函数的奇偶性的理解，了解偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．