【题目】如图,已知抛物线的焦点在抛物线上,点是抛物线上的动点.
(Ⅰ)求抛物线的方程及其准线方程;
(Ⅱ)过点作抛物线的两条切线, 、分别为两个切点,求面积的最小值.
【答案】(Ⅰ) 的方程为 其准线方程为;(Ⅱ)2.
【解析】试题分析; (I)由题意抛物线 的焦点为抛物线 的顶点( ,由此算出 从而得到抛物线 的方程,得到 的准线方程;
(II)设则可得切线, 的方程,进而可得
所以直线的方程为.
联立由韦达定理得,可求得.
进而求得点到直线的距离. 则的面积所以当时, 取最小值为。即面积的最小值为2..
试题解析:(Ⅰ) 的方程为 其准线方程为.
(Ⅱ)设, , ,
则切线的方程: ,即,又,
所以,同理切线的方程为,
又和都过点,所以,
所以直线的方程为.
联立得,所以。
所以.
点到直线的距离.
所以的面积
所以当时, 取最小值为。即面积的最小值为2.
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【题目】设[x]表示不超过x的最大整数,如[1]=1,[0.5]=0,已知函数f(x)= ﹣k(x>0),若方程f(x)=0有且仅有3个实根,则实数k的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知二次函数g(x)=mx2﹣2mx+n+1(m>0)在区间[0,3]上有最大值4,最小值0.
(1)求函数g(x)的解析式;
(2)设f(x)= .若f(2x)﹣k2x≤0在x∈[﹣3,3]时恒成立,求k的取值范围.
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【题目】记函数 的定义域为A,g(x)=lg[(x﹣a﹣1)(2a﹣x)](a<1)的定义域为B,求
(1)A,B;
(2)若BA,求实数a的取值范围.
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【题目】设函数(为自然对数的底数),, .
(1)若是的极值点,且直线分别与函数和的图象交于,求两点间的最短距离;
(2)若时,函数的图象恒在的图象上方,求实数的取值范围.
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【题目】定义在D上的函数f(x)若同时满足:①存在M>0,使得对任意的x1 , x2∈D,都有|f(x1)﹣f(x2)|<M;②f(x)的图象存在对称中心.则称f(x)为“P﹣函数”.
已知函数f1(x)= 和f2(x)=lg( ﹣x),则以下结论一定正确的是( )
A.f1(x)和 f2(x)都是P﹣函数
B.f1(x)是P﹣函数,f2(x)不是P﹣函数
C.f1(x)不是P﹣函数,f2(x)是P﹣函数
D.f1(x)和 f2(x)都不是P﹣函数
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【题目】共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务,是共享经济的一种新形态.一个共享单车企业在某个城市就“一天中一辆单车的平均成本(单位:元)与租用单车的数量(单位:千辆)之间的关系”进行调查研究,在调查过程中进行了统计,得出相关数据见下表:
租用单车数量(千辆) | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 |
每天一辆车平均成本(元) | 3.2 | 2.4 | 2 | 1.9 | 1.7 |
根据以上数据,研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型,得到两个回归方程,方程甲: ,方程乙: .
(1)为了评价两种模型的拟合效果,完成以下任务:
①完成下表(计算结果精确到0.1)(备注: ,称为相应于点的残差(也叫随机误差));
租用单车数量 (千辆) | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 | |
每天一辆车平均成本 (元) | 3.2 | 2.4 | 2 | 1.9 | 1.7 | |
模型甲 | 估计值 | 2.4 | 2.1 | 1.6 | ||
残差 | 0 | -0.1 | 0.1 | |||
模型乙 | 估计值 | 2.3 | 2 | 1.9 | ||
残差 | 0.1 | 0 | 0 |
②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及,并通过比较的大小,判断哪个模型拟合效果更好.
(2)这个公司在该城市投放共享单车后,受到广大市民的热烈欢迎,共享单车常常供不应求,于是该公司研究是否增加投放.根据市场调查,这个城市投放8千辆时,该公司平均一辆单车一天能收入10元,6元收入的概率分别为0.6,0.4;投放1万辆时,该公司平均一辆单车一天能收入10元,6元收入的概率分别为0.4,0.6.问该公司应该投放8千辆还是1万辆能获得更多利润?(按(1)中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本,利润=收入-成本).
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【题目】已知定义域为R的函数f(x)= 是奇函数.
(1)求a,b的值;
(2)判断函数f(x)的单调性,并用定义证明;
(3)若对于任意 都有f(kx2)+f(2x﹣1)>0成立,求实数k的取值范围.
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【题目】平面四边形中, , 为等边三角形,现将沿翻折得到四面体,点分别为的中点.
(Ⅰ)求证:四边形为矩形;
(Ⅱ)当平面平面时,求直线与平面所成角的正弦值.
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