Question

已知tanα=

1

7

，sinβ=

10

10

，α、β为锐角，求证：α+2β=

π

4

．

Answer 1

分析：由sinβ的值和β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosβ的值，进而求出tanβ的值，然后利用二倍角正切函数公式求出tan2β的值，由tanα的值和求出的tan2β的值，利用两角和的正切函数公式求出α+2β的正切值，然后根据α和β为锐角以及tanα和tanβ的值，根据特殊角的三角函数值即可得证．

解答：证明：∵α、β为锐角，sinβ=

10

10

，
∴cosβ=

1- ( 10 10 )2

=

3 10

10

，tanβ=

1

3

，
∴tan2β=

2× 1 3

1-( 1 3 )2

=

3

4

，又tanα=

1

7

＜1，
则tan（α+2β）=

tanα+tan2β

1-tanαtan2β

=

1 7 + 3 4

1- 1 7 × 3 4

=1，
∵α+2β∈（0，

3π

2

），得到α+2β可以为

π

4

或

5π

4

，
根据tanα=

1

7

，得到α＜

π

4

；tanβ=

1

3

，得到β＜

π

4

，
所以α+2β=

π

4

点评：此题要求学生掌握同角三角函数间的基本关系，以及两角和的正切函数公式，是一道证明题．学生在求α+2β值的时候，注意利用α与β的范围以及tanα与tanβ值的范围来判断得到符合题意的值．