已知椭圆
的左、右焦点分别是
、
,
是椭圆右准线上的一点,线段
的垂直平分线过点
.又直线
:
按向量
平移后的直线是
,直线
:
按向量
平移后的直线是
(其中
)。
(1) 求椭圆的离心率的取值范围。
(2)当离心率最小且
时,求椭圆的方程。
(3)若直线与
相交于(2)中所求得的椭圆内的一点
,且
与这个椭圆交于
、
两点,
与这个椭圆交于
、
两点。求四边形ABCD面积
的取值范围。
(1);(2)
;(3)
.
解析试题分析:(1)要求离心率e的范围,就要找出含e的不等式.这个不等式从哪里来?
线段的垂直平分线过点
,所以
,两边除以
得:
,解这个不等式即可得离心率
的取值范围:
.(2)由(1)知
的最小值为
,即
.
又因为,这样便得一个方程组,解这个方程组即可.
(3)据条件知直线与
相互垂直,所以四边形ABCD的对角线互相垂直,其面积
.
求出直线与
的方程,联立起来解方程组便可得交点P的坐标.因为交战点P在椭圆内,据此可得m的范围.接下来将直线
的方程与椭圆的方程联立,再用弦长公式,可得弦AC,再将
与椭圆的方程联立,可得弦BD,由此可得四边形ABCD面积
与m的函数关系式,再用前面求得的m的范围,就可求出这个函数式的范围,即四边形ABCD面积
的取值范围.
试题解析:(1)设椭圆的焦距是,则据条件有
解之得: 3分
(2)据(1)知,又
,得椭圆的方程是
6分
(3)据条件有:
:
7分
由 解得
因在椭圆内,有
9分
又由,消去
得
所以
据对称性易知 12分
所以 13分
而,所以
14分
考点:1、直线与圆锥曲线的位置关系;2、函数的范围;3、不等关系.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆经过点
,离心率为
.
(1)求椭圆C的方程:
(2)过点Q(1,0)的直线l与椭圆C相交于A、B两点,点P(4,3),记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,当k1·k2最大时,求直线l的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知双曲线方程2x2-y2=2.
(1)求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程;
(2)过点(1,1)能否作直线l,使l与双曲线交于Q1,Q2两点,且Q1,Q2两点的中点为(1,1)?如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知椭圆的长轴为AB,过点B的直线
与
轴垂直,椭圆的离心率,F为椭圆的左焦点,且
(1)求此椭圆的标准方程;
(2)设P是此椭圆上异于A,B的任意一点, 轴,H为垂足,延长HP到点Q,使得HP=PQ,连接AQ并延长交直线
于点
,
为
的中点,判定直线
与以
为直径的圆O位置关系。
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的左右两焦点分别为
,
是椭圆上一点,且在
轴上方,
.
(1)求椭圆的离心率的取值范围;
(2)当取最大值时,过
的圆
的截
轴的线段长为6,求椭圆的方程;
(3)在(2)的条件下,过椭圆右准线上任一点
引圆
的两条切线,切点分别为
.试探究直线
是否过定点?若过定点,请求出该定点;否则,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知定点F(2,0)和定直线,动圆P过定点F与定直线相切,记动圆圆心P的轨迹为曲线C
(1)求曲线C的方程.
(2)若以M(2,3)为圆心的圆与抛物线交于A、B不同两点,且线段AB是此圆的直径时,求直线AB的方程
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