Question

10．已知f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+ax+lnx，
（1）当a=0时，g（x）=f（x）-（x-1）²．求g（x）在点（1，0）的切线方程；
（2）讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）求导数，确定切线的斜率，可得g（x）在点（1，0）的切线方程；
（2）利用导数的正负，讨论f（x）的单调性．

解答 解：（1）当a=0时，g（x）=f（x）-（x-1）²=lnx-（x-1）²．
∴g′（x）=$\frac{1}{x}$-2x+2，
∴g′（1）=1，
∴g（x）在点（1，0）的切线方程为y-0=x-1，即x-y-1=0；
（2）∵f（x）=$\frac{1}{2}$ax²+ax+lnx，
∴f′（x）=ax+a+$\frac{1}{x}$=$\frac{a{x}^{2}+ax+1}{x}$，
∴若a≥0，f′（x）≥0，函数在（0，+∞）上单调递增；
a＜0，f′（x）＜0，函数在（0，$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2a}$）上单调递增，在（$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}-4a}}{2a}$，+∞）上单调递减．

点评 本题考查导数的综合运用，考查导数的几何意义，单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．