Question

已知函数f（x）=-x³+3x²+9x+a在区间[-2，2]上存在零点，那么实数a的取值范围是

-22≤m≤6

．

Answer 1

分析：利用导数求出函数f（x）的单调区间及极大值、极小值、f（-2）、f（2），结合函数f（x）的图象，先求出函数f（x）=x³-3x+m在[0，2]上不存在零点时m的范围，然后求其补集即可．

解答：解：①f′（x）=-3x²+6x+9=-3（x+1）（x-3），
当x＜-1或x＞3时，f′（x）＜0，当-1＜x＜3时，f′（x）＞0，
所以f（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上单调递减；在（-1，3）上单调递增．
所以当x=-1时f（x）取得极小值f（-1）=-6+a，f（-2）=2+a，f（2）=22+a．
由于函数f（x）=-x³+3x²+9x+a在区间[-2，2]上存在零点，
则

f(-1)=-6+a≤0 f(2)=22+a≥0

  解得-22≤m≤6，
所以当函数f（x）=-x³+3x²+9x+a在区间[-2，2]上存在零点时，实数a的取值范围是[-22，6]．
故答案为：-22≤m≤6．

点评：本题考查应用导数研究函数的单调性、极值问题，考查分析问题解决问题的能力以及数形结合思想的应用．