Question

1．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin²（x+$\frac{π}{4}$）-cos²x-$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$（x∈R）．
（1）求函数f（x）最小值和最小正周期；
（2）若A为锐角，且向量$\overrightarrow{m}$=（1，5）与向量$\overrightarrow{n}$=（1，f（$\frac{π}{4}$-A））垂直，求cos2A．

Answer 1

分析 （1）根据二倍角的余弦公式变形、两角差的正弦公式化简解析式，由正弦函数的周期、最值求出结果；
（2）根据向量垂直的条件列出方程，代入f（x）由诱导公式化简求出$cos（2A+\frac{π}{6}）$，由三角函数值的符号、角A的范围求出$2A+\frac{π}{6}$的范围，由平方关系求出$sin（2A+\frac{π}{6}）$的值，利用两角差的余弦函数、特殊角的三角函数值求出cos2A的值．

解答 解：（1）由题意得，f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}[1-cos（2x+\frac{π}{2}）]$-$\frac{1}{2}（1+cos2x）$-$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x$$-\frac{1}{2}$cos2x-1=$sin（2x-\frac{π}{6}）-1$，
∴函数f（x）最小值是-2，最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）∵向量$\overrightarrow{m}$=（1，5）与向量$\overrightarrow{n}$=（1，f（$\frac{π}{4}$-A））垂直，
∴1+5f（$\frac{π}{4}$-A）=0，则1+5[$sin（\frac{π}{2}-2A-\frac{π}{6}）-1$]=0，
∴$cos（2A+\frac{π}{6}）$=$\frac{4}{5}$＞0，
∵A为锐角，∴$\frac{π}{6}＜2A+\frac{π}{6}＜\frac{7π}{6}$，则$\frac{π}{6}＜2A+\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}$，
∴$sin（2A+\frac{π}{6}）$=$\sqrt{1-co{s}^{2}（2A+\frac{π}{6}）}$=$\frac{3}{5}$，
则cos2A=cos[（$2A+\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$cos（2A+\frac{π}{6}）$+$\frac{1}{2}$$sin（2A+\frac{π}{6}）$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{4}{5}$+$\frac{1}{2}×$$\frac{3}{5}$=$\frac{4\sqrt{3}+3}{10}$．

点评 本题考查二倍角的余弦公式变形，两角差的正弦、余弦公式，向量垂直的条件，以及正弦函数的性质等，注意角的范围，属于中档题．