Question

12．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2alnx+（a-2）x，对任意x₁，x₂∈（0，+∞），且当x₁＞x₂时，f（x₁）-ax₁＞f（x₂）-ax₂恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． a＞-$\frac{1}{2}$
• B． a＜-$\frac{1}{2}$
• C． a≥-$\frac{1}{2}$
• D． a≤-$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 构造辅助函数g（x）=f（x）-ax，只要使函数g（x）在定义域内为增函数即可，利用其导函数恒大于等于0可求解a的取值范围．

解答 解：当x₁＞x₂时，f（x₁）-ax₁＞f（x₂）-ax₂恒成立．
令g（x）=f（x）-ax，即有g（x）在（0，+∞）为增函数．
又函数g（x）=$\frac{1}{2}$x²-2alnx-2x．
考查函数g′（x）=x-$\frac{2a}{x}$-2=$\frac{{x}^{2}-2x-2a}{x}$=$\frac{（x-1）^{2}-1-2a}{x}$，
要使g′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
只要-1-2a≥0，即a≤-$\frac{1}{2}$，
故选D．

点评 本题考查了利用导数研究函数单调性，考查了数学转化思想方法，训练了利用构造函数法解决不等式恒成立问题，属于中档题．